"dicial que útil en las especulaciones metafisicas." [1] Sir Kes helm Digby dice con mucha delicadeza: "Debo observar, como "hace mucho tiempo que lo ha hecho nuestro compatriota Ro"gerio Bacon, que los estudiantes que se ocupan mucho de es"tas nociones que tienen su asiento en la fantasía, con dificul"tad pueden salir en bien en las especulaciones abstractas y metafisicas; porque en las unas siempre se tiene como base só"lida y punto de partida (al ménos para colocar un pié) la ma“teria ó sus accidentes; mientras que las otras flotan y vuelan "sin cesar en medio de un aire sutil, al rededor de un punto que "siempre va disminuyéndose. Tambien se ha observado gene"ralmente que los mas exactos matemáticos que no se ejercitan "sino en formar figuras, líneas y lo demas relativo á la canti"dad, rara vez son muy aventajados en metafísica y en teolo"gía, lo mismo que los profesores de éstas ciencias en las otras "ártes. Mucho menos puede esperarse de un escelente médico, "cuya imaginacion está siempre llena de las drogas que receta "ó prescribe al boticario para componer sus remedios, y cuyas "manos y ojos están acostumbrados á disecar y examinar los cadáveres, que se complazca en remontar sus pensamientos "hasta la altura inaccesible del entendimiento puro, de una al"ma incorpórea y separada del todo." (2) La filosofia de Kant y las sectas que de ella derivan tambien han reconocido la relacion de dependencia de las matemáticas con los últimos grados de la imaginacion.

M. Whewell recomienda principalmente el estudio de la demostracion matemática como ejercicio práctico del raciocinio en general, y precisamente bajo esta relacion práctica es como se ha hecho acaso mas evidente su inutilidad. El raciocinio en general tiene casi esclusivamente por objeto el contingente. Así pues, si la demostracion matemática, segun se pretende, es el mejor ejercicio de lógica práctica, debe álcanzar este objeto desviándonos de las distintas vias que nos conducen al error, y destruyendo los principales obstáculos que encontramos en nuestros raciocinios probables. Pues los peligros y dificultades de esta especie de razonamientos residen enteramente en su forma, en su medio de transmision, y en su materia.

En cuanto á la forma, el estudio de las matemáticas no desenvuelve de ningun modo la sagacidad necesaria para descubrir y separar los errores que nacen del mismo pensamiento del que discurre ó raciocina. La demostracion no se considera tal, sino en tanto que la necesidad de uno de los contrarios, y la imposibilidad del otro, son por la misma naturaleza del asunto, absolutamente evidentes y claros para la conciencia á cada

(1) Epist. p. 2, ep. XXXIII.

(2) Observaciones sobre la Religion del médico de sir Tho Brown. Sub initio

paso

de la deduccion. Por tanto, el razonamiento matemático, por lo mismo que es demostrativo, no dá lugar á ninguna especie de sofisticacion ó adulteracion del pensamiento; la necesidad de su objeto precisa ó fuerza la correccion de su forma; por consiguiente no puede precavernos y armarnos contra esta formidable fuente de errores. M. Whewell nos dice que "en las "matemáticas el estudiante se familiariza con los mas perfec"tos ejemplos de conclusiones exactas; que está precisado á fi"jar continuamente su atencion sobre las condiciones de que "depende la irresistibilidad de la demostracion; y que en los "ensayos infructuosos é imperfectos de demostraciones que él y "otros hagan, tiene á la vista ejemplos de los sofismas mas na "turales espuestos y corregidos."-- (P. 5.) Hubiéramos deseado que la conexion de las primeras frases de esta asercion con la última se hubiese establecido por algun argumento mas só, lido que el de una conjuncion copulativa; y que la nueva idea espresada en esta última, se hubiese esplicado é ilustrado con algun ejemplo. Si la verdad de nuestra opinion no estuviese tan manifiesta, podríamos invocar el hecho, indicado ya por Aristóteles, y siempre confirmado despues por la esperiencia, que las matemáticas son las únicas ciencias que han continua do haciendo progresos "sin apariencia de retrogradacion," y tambien (en cuanto a su propio objeto) "sin una disputa." Las matemáticas, desde su orígen han roto la cubierta del fruto; la filosofia combate aun por la pulpa. Por consiguiente la lógica, como doctrina de la forma del raciocinio, tan útil en cualquier otro asunto, no tiene valor práctico en matemáticas, y léjos de "formar hábitos lógicos, mejor que la misma lógica," como lo asegura tan osadamente M. Whewell, las matemáticas no pueden absolutamente formarlos.-El arte de raciocinar con exactitud (juste) no puede ciertamente enseñarse por un método que carezca de razonamientos falsos (faux). No se aprende á nadar en el agua por un ejercicio previo en un estanque de mercurio; pero si las matemáticas son buenas para contraba lancear nuestra tendencia natural al error, ¿por qué no recomendar el mercurio para contrabalancear nuestra tendencia de irnos al fondo? M. Coleridge tiene razon en decir que "es una grande equivocacion creer que la geometría pueda reemplazar en nada la lógica." [1]

(1) Propos de table, 1. 16. Despues de haber escrito esto, hemos encontrado el pasage siguiente de Duhamel:-No veo, dice este filósofo y matemático distinguido, que los geometras cuiden mucho, de poner sus argumentos en forma lógica, y sin embargo, no hay uno que demuestre con mas precision, ó conviccion que otro. En efecto, la naturaleza es su guia, y bajando paso a paso de lo simple y general à lo mas compuesto, y definiendo cada término, no dejan ambigüedad en su lenguaje. De aquí resulta, que no pueden errar en la forma de sus silogiemos, porque de ordinario no se separan de las reglas, sino porque se abusa de la ambigüedad de las palabras, ó por que

Pero si el estudio de las matemáticas no puede, como disciplina lógica fortalecer la razon contra los errores del pensamiento, ¿no podría como ejercicio que fortifica la misma razon, corroborarla contra su influencia? Tambien es incompetente para esto. Los principios de las matemáticas son evidentes en sí mismos, y cada transicion ó paso que dan tiene la misma evidencia. Ahora bien, el simple acto intelectual, determinado por una proposicion intuitiva, es de todas las operaciones mentales, la mas fácil y vecina, en verdad, á la carencia de todo pensamiento; por consiguiente, si cada paso de la demostracion matemática es intuitivo, cada paso de esta demostracion no reclama sino el mínimo absoluto de pensamiento, y como una facultad se desenvuelve siempre en proporcion á su grado de ejercicio, se sigue de aquí que no provocando las matemáticas sino el mas débil ejercicio de la razon, no desenvuelven esta facultad sino en los mas estrechos límites.

En este estudio rara vez se eleva el espíritu á la cumplida conciencia de su propia actividad; somos mas pasivos que activos, y mas bien llevados que movidos por nosotros mismos. Se ha dicho con mucha oportunidad: Mathematica munus pristinarium est; ad molam enim alligati, vertimur in gyrum æque atque vertimus. En efecto, la rutina de la demostracion en la gimnástica del espíritu puede compararse la rutina de una rueda de molino en la gimnástica del cuerpo; cada una determina una sola facultad á una accion limitada y contínua. Todas las que no son impropias á las ocupaciones ordinarias de la humanidad son capaces de una y otra; pero así como sin apremio son pocos los que se dedican á la una, sin un impulso dado, pocos son los que hacen progresos en la otra. Cada una de estas enseñanzas tiene por objeto lo necesario, y parte cada una de data: ámbas marchan paso á paso, y en las dos dado el primer paso, la necesidad de los otros es de una evidencia tambien intuitiva. La una se mueve siempre sin adelantar jamas; la otra no hace sino variar incesantemente y á lo infinito la única espresion de la misma identidad. Las dos son ocupaciones abstractas, y se

se dá al medio término diferente sentido en la premisa mayor y menor. Los geómetras acostumbran tambien establecer algunos axiomas, ó principios evidentes, de los cuales se deduce todo lo que quieren ulteriormente demostrar. En fin, sus conclusiones están deducidas bien sea de defini iones incuestionables, o bien de proposiciones y principios llamados axiomas, que basta la luz natural para conocerlos, ó de otras conclusiones anteriormente establecidas, y que adquieren la autoridad irresistible de los principios. No cuidan absolutam nte del modo y forma de su silogismo, ni piensan en las reglas de la lógica, porque tal preocupacion seria mas dañosa que ventajosa, desviando su pensamiento de las cosas mas necesarias."

Leibnitz (opera, l. II. p. 17) recuerda la memorable hazaña de dos lógicos celosos, pero de rudo cerebro, llamados Herlinus y Dasipodius que pusieron en silogismos formales los seis primeros libros de Euclide.-Véase tambien á Fonseca in Metaphi. Arist. 1. II. c. 3, q. 3. sect. 3.

nan convenido en reconocer que son impropias para las cosas de la vida, porque aunque una y otra sean medios de correccion, hay una preocupacion respecto de la una, contra los hábitos morales, y respecto de la otra, contra el razonamiento moral de los que las practican. En fin, entre otros muchos puntos de semejanza, ámbas cultivan una sola facultad intelectual, porque no determinan sino una accion mecánica continuada, y en cada una el alumno interrumpe con desagrado su trabajo por la menor distraccion.

La facilidad de las matemáticas no es una paradoja. "No "hay casi hombre alguno, dice Ciceron, que aplicándose con cui"dado á esta ciencia, no haya adquirido el grado de habilidad "que haya querido. [1]-Las matemáticas son el estudio de los “entendimientos lentos, dice el Plinio helvético." [2] "Y War"burton cree que: la rutina de la demostracion es el ejercicio "mas fácil de la razon, y que para sobresalir en él se necesita "ménos vigor de entendimiento que de atencion." [3] En los siglos pasados en Grecia, lo mismo que en nuestros dias en la escuela de Pestalozzi, las matemáticas se relegaban entre los principios elementales de educacion. Aristóteles, entre otros muchos, observó que no solo los jóvenes, sino aun los niños aprendian con facilidad las matemáticas, mientras que eran incapaces de aprender nada en filosofia especulativa ó práctica. [4] Y en cuanto á los niños, se ha reconocido por una de las autoridades mas distinguidas de nuestra edad, respecto á educacion, "que es de la mayor notoriedad en todas las escre"las que los entendimientos que manifiestan inclinacion á esta "especie de representaciones abstractas, tienen débil juicio en "las otras materias." [5] "El espíritu geométrico (dice el sa"bio obispo de Avranches, admirador de las matemáticas, y "geómetra el mismo de mérito) exige mucha flema, modera"cion, atencion y circunspeccion.... Todo lo que forma pues "estos espíritus brillantes á quienes se les ha dado por privilegio "el titulo de beaux esprits, quiero decir la abundancia, la varie“dad, la libertad, la prontitud y vivacidad, todo esto es directa"mente opuesto á las operaciones geométricas que son simples, "lentas, áridas, forzadas y necesarias." [6]

Esto nos conduce á observar que para las personas de algun talento, las matemáticas no son dificiles sino porque son demasiado fáciles. El Placer acompaña siempre al ejercicio es

[1] De oratore. 1. I. c. 3.

[2] Zuingerus in Ethic. Nicom. 1. VI. c. 9.

[3] Julien. pref. œvre, IV. p. 345.

14] Eth. Nicom. 1. VI. e. 8.

[5] Niemeyer sobre Pestalozzi. 1810, p. 51.-Vid. tambien Klump, ut supra vol· II. p. 41.

[6] Huetiana, cap. 123.

pontáneo y libre de una facultad ó de un hábito; y la pena, la violencia ejercida sobre una facultad para hacerla operar fuera de sus límites sea en duracion ó en grado, ó bien la represion violenta de su tendencia espontánea á la accion. Este es el motivo por que un estudio será tanto mas agradable cuanto mas favorezca el ejercicio libre y espontáneo de mayor número de las facultades mas enérgicas, y tanto mas cansado y fastidioso, cuanto mas intensa y prolongada sea la actividad. Esta es la razon por que las matemáticas parecen insoportables especialmente á los entendimientos dotados de las facultades mas variadas y poderosas, porque tales entendimientos son precisamente á quienes el estudio hace esperimentar los goces mas vivos y abundantes, y tambien impone las penas mas profundas.--Por lo demas no puede decirse que estas ciencias fatiguen una sola facultad imponiéndole á cada instante una gran actividad, porque de hecho, si se les encuentra fastidiosas, es en gran parte, porque no conceden á esta sola facultad que emplean, su desarrollo natural y completo. En matemáticas se llega al término non vi, sed sæpe cadendo. La atencion contínua y monótona que exige una larga deduccion [porque cada paso en la série reclama un solo acto intelectual, verificándose siempre sobre una relacion eternamente la misma y siempre en un débil grado de intensidad, y la inaccion forzada á que son condenadas todas las facultades mas nobles y mas agradables, son las dos causas que hacen de las matemáticas consideradas en sí mismas, el mas fácil de los estudios racionales y al mismo tiempo el mas árduo precisamente para los entendimientos que encuentran fáciles los estudios realmente mas dificiles.

Así en matemáticas la lentitud se convierte ó constituye el talento, y este se convierte en incapacidad. "Los que se ocupan dice Ariston de Chio, de las matemáticas, y desatienden abandonan la filosofia, son como los amantes de Penelope, que no pudiendo poseer la dueña ó ama de la casa se contentaban con las criadas." [1]

Hipponicus, matematico de genio, y nulo para todo lo demas, de quien su discípulo, el filósofo Arcesilao acostumbraba decir que su ciencia debió habérsele corrido á la boca miéntras que bostezaba, [2] es el tipo de una clase numerosa. "El matemático es un pelon, ó un tonto, ó un visionario, ó las tres cosas juntas," hace mucho tiempo que se repite como adagio en las escuelas europeas. (3) La palabra "pesado como un geó

[1] Stobaei Floril, tít. IV. 110. Aceptamos, pero sin comprometernos á dofender la interpretacion del universal Gesner.

[2] Diog. Laert. liv. IV. s. 32.

[3] Alstedii didactica, c. 12. et Muelleri parœmisos academice, p. 33.