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cipios y hechos sumamente generales en los que se comprendan todos los casos particulares, estudiadas de este modo, deben disponer mal el entendimiento para adquirir los conocimientos de diferente naturaleza."

El resto del folleto está consagrado al desenvolvimiento y discusion de estas tres posiciones. Se notará que ni aquí ni en ninguna otra parte ha intentado M. Whewell defender las matemáticas contra estas acusaciones en que conviene; porque no es justificar esta ciencia en general (y es la ciencia en general la que en todos tiempos se ha acusado] admitir y aun exagerar la mala tendencia de algunas opiniones fútiles recientemente introducidas y desdeñadas de los acusadores.

El mérito principal del folleto de Whewell consiste en el desarrollo del primero y tercer punto. El matemático se encuentra aquí en su terreno. Dispuestos estaríamos á presentar algunas observaciones sobre esta materia; pero la naturaleza técnica del asunto, no ofrecería interes alguno á la mayor parte de los lectores; y nos acordamos del apotegma rabínico:

Dies brevis et opus multum et pater familias urget. Pero no debemos abandonar la segunda proposicion, porque al tratarla entra M. Whewell en la filosofía.

“Toda persona, dice, que se ocupa de las matemáticas debe ver claramente la diferencia que hay entre las matemáticas y los hechos empíricos, entre la evidencia de las propiedades del triángulo y la de las leyes generales de la estructura de las plantas.

El carácter especial de la verdad matemática es el de ser necesaria é inevitablemente verdadera; y una de las lecciones mas importantes que pueden sacarse de los estudios matemáticos, es conocer que hay verdades de este género y familiarizarnos con su forma y carácter

Esta leccion no es solo perdida, sino que se toma al revés si se enseña al estudiante que no existe esta diferencia y que las verdades matemáticas se adquieren tambien por la esperiencia. Trabajo me cuesta creer que un matemático sostenga esta opinion con relacion a las verdades geométricas, aunque se haya sostenido por metafísicos de un talento poco comun, tales como Hume. Le preguntaríamos cómo puede demostrar la esperiencia no solo que una cosa existe sino que debe existir; con qué autoridad pronunciará sobre todos los casos posibles, que han de verificarse en lo futuro, ó tal vez no se producirán jamás, ella que no es sino la simple informante de los acontecimientos pasados. O bien, si descendemos á esplicaciones, preguntarémos á los que pretenden que solo la esperiencia nos ha enseñado que dos líneas rectas no pueden cerrar un espacio, ¿cómo se ha hecho la prueba y quién la ha verificado? Y les suplicamos nos

digan de qué modo se han asegurado de que las líneas empleadas en el argumento eran perfectamente rectas. El error en este caso, segun creo, es muy palpable para que sea necesario detenernos mas en esto.

Notarémos en primer lugar que la investigacion de la na. turaleza y origen de los principios matemáticos sale de la esfera de las mismas matemáticas.

Las matemáticas, como han observado Proclus [1] y Platon [2] están fundadas en hipótesis de que no pueden dar cuenta, y por esta razon el último les niega el título de ciencia. "El geómetra como mero geómetra, dice Aristóteles, no puede discutir sus principios.” [3] Y Séneca observa que “la matemática es, por decirlo así, una ciencia superficial: edifica sobre terreno prestado, y los principios de que se sirve no le pertenecen. La filosofía á nadie pide cosa alguna, levanta su edificio en terreno propio. [4] Las autoridades citadas representan la opinion conforme de los filósolos y matemáticos antiguos y modernos sobre este punto.

Pero en segundo lugar, admitiendo que un matemático deşconozca los límites de su ciencia á punto de hacer una escursion en los dominios del filósofo, jamás comprenderemos como algunas generalidades de la metafísica colocadas a la cabeza de un tratado de matemáticas podrian influir sobre el modo de esponer la ciencia, y ulteriormente sobre el entendimiento del estudiante. Mucho dudamos que de cien matemáticos se encuentre uno que jamás haya poseido una opinion, y menos aun el derecho de tenerla sobre esta materia.

En tercer lugar ¿qué debe creerse sobre la asercion de que el estudio de las matemáticas es indispensable para revelarnos la existencia de las verdades necesarias? Que hay ciertos juicios que estamos obligados á reconocer como necesarios, es un hecho que jamás se ha ignorado, ni nadie ha puesto en duda. "Lo que han dudado algunos filósofos es que sean verdades estos juicios necesarios; pero las matemáticas no pueden resolver esta duda ni presentar ningun elemento de solucion. Las proposiciones en que esta ciencia hace descansar el edificio de la demostracion, son tan conocidas del principiante que abre su Euclides, como de los Euler y Laplace; pero pertenecen primero que todo y por derecho anterior, al filósofo, á quien el matemático está siempre obligado á ocurrir cuando se trata de establecerlas ó defenderlas.

En cuarto lugar, si M. Whewell “tiene dificultad en creer que ningun matemático haya querido sostener que las verda

(1) In Euclid. I. I, p. 22.
(2) De Repub, I. VI et VII.
(3) Post Analyt. I. I, c. 12 g 3, Véase Phys. 1. I, c. 2 text. 9.
(4). Epist. 88.

des matemáticas se adquieren por la esperiencia" no comprendemos por qué se toma el trabajo de escribir este Tratado contra esta opinion sostenida actualmente por una escuela entera de matemáticos.” Por las palabras matemático alguno tal vez entiende y habla de los que sean dignos de este nombre. Pero si esta escuela es tan despreciable ¿por qué escribir y con tanta seriedad contra ella? Notarémos de paso que en el folleto de M. Whewell no es esta contradiccion la única que nos ha sido imposible esplicar.

Pero en quinto lugar, esta misma distincion descansa en un error. Para justificar las matemáticas no necesitamos ir mas léjos que á Sir John Leslie. “La geometría [dice este pensador verdaderamente original] está fundada tambien en la observacion pero en una observacion tan familiar y evidente que parecen intuitivas las nociones privativas que suministra." En cuanto a la acusacion hecha contra los metafísicos ¿por qué no se ha mencionado á Locke, en lugar de Hume? Anticipando Hume tal doctrina no hubiera hecho mas que desenvolver escépticamente lo que Locke habia establecido dogmáticamente. Pero el mismo Locke recibió esta opinion de un matemático, porque esta parte de su filosofia la debe á Gassendí; y lo que es muy curioso, abandona aquí al escolástico, de quien habia tomado como base de su filosofía el doble origen de nuestros conocimientos, la sensacion y la reflexion; porque este matemático no reconocido tenia sobre esta cuestion, lo mismo que sobre otras muchas, opiniones mas profundas que las de su discípulo. Respecto de Hume se ha equivocado enteramente M. Whewell, porque este filósofo no ha pretendido ciertamente “que las verdades geométricas se enseñen por la esperiencia"; porque haciendo poco caso de las matemáticas como estudio, era demasiado penetrante para emitir una opinion tan absurda en cuanto á su principio, y con efecto se ha hecho célebre, por haber sostenido precisamente la opinion contraria. Sobre este punto no era ni sensualista, ni escéptico; pero abandonó á Locke y á Ænesidemo para pasar á Leibnitz. . En sesto lugar M. Whewell considera con razon la condicion de la necesidad como el criterio de todo conocimiento puro, ó á priori. Pero léjos de que sea esta una verdad vulgar y familiar a todos los matemáticos, vemos en ella sola la prueba de que M. Whewell acaba de iniciarse en la filosofía Kantiana, de la cual presenta aquí uno de los mas famosos principios y uno de los ejemplos comunes. Es verdad que este principio se anunció por Leinitz, pero este filósofo no se cuidó en llevardo hasta sus últimas y mas importantes aplicaciones. En su filosofía nuestros conceptos sobre el espacio y tiempo derivan de la esperiencia. Puede percibirse tambien la huella confusa en Descartes y en otros muchos metafísicos que le han precedido; pero con seguridad, no era esto una cosa palpable, y respecto de la cual pudiesen los matemáticos fundar alguna pretension. Conforme á este principio, segun lo ha desenvuelto Kant, el espacio y el tiempo son puras modificaciones del alma; y así los matemáticos no tienen por objeto sino pensamientos necesarios: pensamientos que jamás pueden aspirar á la verdad y realidad objetivas. ¿Se encuentran por esto mejor establecidos los fundamentos de la ciencia? Pero pasemos á materias mas importantes.

Es una observacion antigua y universal que segun la diferencia de los estudios recibe el entendimiento diferente cultura; y como el objeto de una educacion liberal ó espeditiva consiste en el desarrollo general y armonioso de las diversas facultades en su subordinacion relativa, hace mucho tiempo que se ha conocido que seria una insensatez esperar este resultado de la esclusiva aplicacion de un estudio ya esclusivo por sí mismo. Los efectos de una educacion dirigida a un lado solo no consisten únicamente, segun se ha notado en el desarrollo desproporcionado de una facultad á espensas de las otras, sino tambien en la educacion esclusiva de esta misma facultad por una esfera de accion especial, ó por una clase particular de objetos. Nadie comprendió esto mejor que Aristóteles, ni tampoco espuso mejor los efectos de semejante cultura en el conjunto y sobre cada una de las facultades del alma.

“La instruccion, dice, se adquiere de un modo diferente, segun los hábitos del entendimiento. Nos parece que todo debe enseñarse del modo á que estamos acostumbrados; y el mismo objeto presentado de un modo que no nos es familiar nos parece diferente, y aun estraño y desconocido. Cuan enérgica es la influencia de la costumbre, lo prueban las leyes, donde lo fabuloso y pueril tienen, en fuerza del hábito, mas influencia que lo útil y conveniente por un conocimiento racional. Así es como algunos que se han habituado a los estudios matemáticos, nada admiten que no esté demostrado segun el procedimiento de las matemáticas; otros que han estudiado esclusivamente el razonamiento analógico, solo piden ejemplos; otros tambien cuya imaginacion se ha ejercitado á costa del juicio, necesitan el testimonio de un poeta. Hay algunos que quieren que se les esplique y desarrolle todo, mientras que otros, sea por ligereza ó incapacidad de seguir un largo razonamiento, encuentran fastidioso todo desenvolvimiento.... Este es el motivo porque debemos ejercitarnos y habituarnos en diferentes especies y grados de evidencia, conforme á la naturaleza de cada objeto. (1)

“Es propio del hombre bien educado no exigir en cada cosa mas que el grado de exactitud que permite la materia; no se

(1) Metaph. I. II, c. 3, 14.

ria menos absurdo en efecto, obligar á un matemático á que hiciese de retórico, que exigir de un orador demostraciones matemáticas; cada uno sin embargo es competente y buen juezen los asuntos que conoce. Aquel juzgará bien en particular sobre cada cosa en que se haya instruido, y este en general y en tcdo lo que ha sido instruido.” (1)

Pero hay una diferencia inmensa entre uno y otro estudio en cuanto a la estension de su accion. Los unos ejercitarán y por consiguiente desenvolverán una facultad en una sola direccion, ó un débil grado, mientras que otros por la variedad de objetos y de relaciones que abrazan, ponen en juego vigoroso el conjunto de las mas elevadas facultades, y podrian casi pretender por sí solos efectuar la obra de una educacion general.

Si consultamos la razon, la esperiencia y el testimonio comun de los tiempos antiguos y modernos, ningun estudio hay que tienda á cultivar menor número de facultades y de un modo mas incompleto que el de las matemáticas. Esto lo han conocido cuantos hombres han escrito sobre educacion con algun juicio y esperiencia, y no lo desconocen ni aun los que se oponen con mas fuerza á que sean escluidas enteramente de la educacion liberal. La Alemania es un pais que ha dejado muy atrás á todos los otros en la teoría y práctica de la educacion. Las tres citas que siguen, representan el estado actual de la opinion en los tres reinos de la confederacion germánica, que por sus luces ocupan el puesto mas elevado, la Prusia, Baviera y Wurtemberg,

“Se pregunta, dice Bernhardi (uno de los hombres mas inteligentes y esperimentados en materia de instruccion que existen en Prusia) si las matemáticas desarrollan el juicio, las facultades de raciocinar, la inteligencia en general en todos sentidos. Nos vemos obligados a responder que nó; porque no ejercitan las facultades sino con relacion al conocimiento de - la cantidad; desatendiendo completamente el de la cualidad.

Y por otra parte, esta evidencia matemática, esta coincidencia perfecta de la teoría y la práctica i se verifica en los otros ramos de nuestros conocimientos? El exámen mas superficial prue.ba todo lo contrario, y nos enseña que las matemáticas tienden necesariamente á introducir en nuestra vida intelectual una rigidez que marchando obstinadamente derecho á su objeto no tiene consideracion con los medios por los cuales puede alcanzarse en materias diferentes." (2)

(1) Eth. Nicom. I. I, c. I.

(2) Ansiohten etc. es decir, Pensamientos sobre la organizacion de las escuelas sábias, por A. F. Bernhardi, doctor en filosofia, director y profesor del gimnasio de Federico en Berlin, y miembro del Consejo consistorial. 1818.

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