au système (11) au lieu de l'équation unique (V, 15). Cependant on peut répéter sur ce système tous les raisonnements de M. Vessiot, et ramener l'intégration d'un système (L) au problème suivant : Intégrer un système Jacobien Pour appliquer la méthode de M. Vessiot, on substituera au système (V, 24) le système suivant, où les Z, f sont définis par les équations (V, 23) (S) Lf = 0. L1 f = o, X1 f + Z1 ƒ = o, ... X, ƒ + Z‚,ƒ= 0. of of On résoudra ces équations par rapport aux dérivées et et l'on fera ensuite le changement de variables Soit (S') le système obtenu. Il est composé d'équations de la forme of (S") + дип (x... x, u,..., u2) Z, ƒ=o (h = 1,2...p) j = et d'autres équations qu'il est inutile d'écrire. Une démonstration analogue à celle qui sert de base à la théorie de Mayer montre en effet qu'il suffit pour intégrer (S) d'intégrer le système Jacobien (S”), 1 Goursat, Leçons sur les équations aux dérivées partielles du premier ordre, p. 58. où les x' sont regardés comme constants. Mais ce système (S") est équivalent à un système (L) simple. On peut alors reprendre la suite du raisonnement de M. Vessiot. L'intégration du système (L) correspondant au groupe des mouvements (n° 5) s'achève par quadratures dès que l'on a intégré un système (L) correspondant au groupe des rotations. C'est un exemple du parti que l'on peut tirer d'un sous-groupe invariant (qui est alors le groupe des translations) et il serait aisé de le rattacher aux notions précédentes. 15. Indications sur la théorie de Galois. Donnons très rapidement les modifications nécessaires pour étendre aux systèmes (L) la théorie développée par M. Vessiot dans le chapitre V de son Mémoire. On considère deux groupes simplement transitifs : le premier (V, 1) ou (V, 2) sert à construire le système (L) qui sera l'analogue d'une équation algébrique, le second (V, 5), réciproque du précédent, est l'analogue du groupe de permutations dans la théorie des équations. On regarde d'abord x1,x2. x, comme des fonctions indéterminées de p variables u,,u,. . . u,. Les np dérivées du premier ordre de ces fonctions remplacent les n lettres x' de M. Vessiot. On suppose (V, 5) prolongé jusqu'à un ordre quelconque, à l'aide des variables u, non transformées par le groupe; et on arrive à la notion du groupe d'une fonction quelconque des x et de leurs dérivées. Le groupe (V, 5) admet des invariants du premier ordre, qui sont des fonctions de np d'entre eux. On obtient un système de np invariants indépendants du premier ordre en résolvant les p systèmes d'équations linéaires que l'on déduit de (V, 6) en y remplaçant x1 x 2. x par DX DX2 dxn et donnant à h les valeurs 1,2,... ..p. Nous désignerons par A l'ensemble de ces np invariants, par A",..., A(s) les ensembles de dérivées d'ordre 1, aux variables u. S des A par rapport On généralise alors, comme le fait M. Vessiot, le théorème des 1 Darboux, Leçons sur la Théorie des Surfaces, no 56. fonctions symétriques: Tout invariant de (V, 5) s'exprime par un calcul de substitutions au moyen des A, A, . . . A, . . . 16 Pour l'extension du théorème de Lagrange, il faut remplacer les équations différentielles de M. Vessiot par des systèmes d'équations aux dérivées partielles : Soit F une fonction admettant un sous-groupe (V, 7) de (V, 5). Nous supposons les dérivées de F par rapport aux u exprimées en fonction des x, et des ▲, 1, . . . Cela étant, les E, dérivées de F d'ordre inférieur ou égal à s donnent un nombre égal d'invariants de (V, 7). Mais ce dernier groupe n'a que invariants indépendants, donc, dès que s est assez grand, il existe un système de relations de la forme suivante (où F désigne l'ensemble des dérivées d'ordre i de F par rapport aux u) (A) (F, F), F(); A, A, .) = 0 identiques par rapport aux x et à leurs dérivées. 8 Le nombre des relations algébriquement distinctes de la forme. (A) est au moins égal à E,-v; montrons qu'il ne peut être supérieur à ce dernier nombre si s est assez grand. Toutes les relations (A) doivent être vérifiées quand on y remplace F par la fonction F, déduite de F par la transformation générale de (V, 5). Or F, dépend de paramètres, et dès lors la proposition énoncée résulte des travaux de Lie1 et de M. Bourlet sur les systèmes différentiels dont l'intégrale générale dépend de constantes arbitraires. Il y a donc E-v relations (A) algébriquement distinctes, et on peut former avec F et ses dérivées (exprimées en fonction des x seuls) un système de invariants indépendants du groupe (V, 7). Par suite: Toute fonction admettant le groupe de F peut s'exprimer en fonction de F, F, . . ., 1. 1", . . . par un calcul d'éliminations. Il nous semble qu'avec les indications précédentes il n'y a pas de difficulté à étendre aux systèmes (L) la théorie développée par M. Vessiot dans le chapitre V de son travail, théorie analogue à celle de Galois pour les équations algébriques. On sait d'ailleurs que M. Vessiot a repris l'étude de ces questions à un point de vue nouveau dans son Mémoire couronné (Annales de l'École Normale, 1904). 1 Lie Engel, Transformations gruppen, I, chapitre x. I. La sensation. Le plaisir physique. La ligne. La loi du moindre effort. La grâce. - La couleur. Proportions et harmonie. Lois arithmétiques. La section dorée. Le Beau. Le nouveau. L'habitude. L'anthropomorphisme. La théorie utilitaire. II. Chemin de la sensation : les couches optiques, les centres visuel et auditif, l'écorce cérébrale. L'idée. gation nerveuse. Les centres moteurs, le corps strié. Propa -La respiration. III. L'association des idées et les neurones. La joie, la douleur, la colère. Représentation du mouvement. - Les points morts. L'inconscient. Exercice fonctionnel de l'émotion. Effet I L'art ne résulte pas d'une invention. Il ne procède pas davantage d'une convention préalable entre les hommes. Il n'est pas non plus un jeu (Spencer), ni une parure, un luxe superflu ajoutés à la vie, << une broderie », comme disait Pascal; il est une conséquence de la vie même. Il constitue un phénomène biologique. Il a sa source directe dans la sensation. La sensation a d'abord procuré un plaisir physique, qui persistera plus tard et deviendra le noyau de l'émotion esthétique. Alors même que ce plaisir, effacé, se sera progressivement intellectualisé et qu'il aura dépassé la sphère de l'intelligence pour entrer dans celle de sentiment idéalisé, même à ce point de son évolution, l'émotion esthétique sera encore, en quelque sorte, la résonnance dans l'organisme tout entier de la sensation initiale depuis longtemps oubliée et méconnue. Tous les sens peuvent s'ouvrir à des sensations productrices d'esthétique; ce ce qui n'était d'abord qu'un plaisir ou même qu'une douleur physique s'amplifiera et débordera sous la forme de plaisir ou de douleur moral. Tous les sens concourent, à des degrés différents, à la genèse de l'émotion; mais ses facteurs principaux sont, sans conteste, l'œil et l'oreille. La plupart des émotions esthétiques ont pour point de départ une sensation agréable et cette condition d'être agréable résulte d'un certain déterminisme physique: pour être agréables, les vibrations perçues par l'oreille doivent être dans un rapport numérique simple avec les vibrations des organes de l'audition; nous les trouvons alors harmonieuses. Les vibrations des ondes d'éther, qui nous donnent la sensation visuelle, doivent, pour être agréables, depuis celles du rouge jusqu'à celles du violet, être dans un certain rapport numérique avec les vibrations des éléments de la rétine. La couleur, comme on l'a dit, est une sorte de musique visible et, si l'oreille souffre du rapprochement de certains sens, l'œil est blessé de même par la juxtaposition de certaines couleurs: comme il y a des notes fausses, il y a des tons faux. Quelques sensitifs grincent des dents à la vue de certains tons colorés, comme nous le faisons presque tous à l'audition de certains bruits. Il est des personnes, en revanche, qui semblent être insensibles aux jouissances de l'oreille ou à celles de l'œil Cuvier devait, dit-on, faire un effort de patience pour entendre jouer du piano, tandis que Rossini n'était sensible qu'à la musique. Canova frémissait devant la Vénus de Médicis, tandis que Davy devant une statue de marbre n'éprouvait d'autre plaisir que celui que peut procurer à un chimiste la vue d'un beau bloc de carbonate de chaux, La première condition, pour un artiste, c'est d'être sensible au plaisir physique |