tes iguales, que se llaman grados; y así la mitad del círculo contiene 180 grados, la quarta parte 90, y la mitad de esta 45.

X. La abertura de los ángulos (Véase el núm. 4.) se mide por el número de grados que encierran, ó por el arco que abrazan las dos líneas que forman el ángulo. Así para conocer la abertura del ángulo AE D', fig. 3, cuyo vértice es E, tómese el vertice de este ángulo por centro de un círculo, que se describirá como se quiera, y dividiéndolo en 360 grados, cuéntense despues los grados. que contenga el arco A D, y si contiene 40 ó 5o, se concluirá que el ángulo A ED es de 40 ó 50 grados.

XI. El ángulo recto A E F, fig. 3, tiene 90 grados, y es su medida la quarta parte de la circunferencia. El ángulo obtu so CE A es el que tiene mas de 90 grados, y el ángulo agu do CEB es el que tiene menos.

XII. Triángulo es una figura que se compone de tres ángulos y de tres lados: D E F, fig. 2, es un triángulo. Quando son iguales sus tres lados se llama triángulo equilatero; quando no tiene mas que dos lados iguales isosceles, y escaleno quando son desiguales los tres lados. En un triángulo se distinguen la base E F, el vértice D, y los lados DE y DF. Llámanse homólogos los lados semejantes de dos triángulos que se comparan ; y así en la figura 9 son homólogos los lados A Cyac: A By ab, BC bc de los triángulos 1 y 2.

XIII. Quadrilatero es una figura que tiene quatro líneas rectas por lados. Quando estos lados son iguales y perpendiculares entre sí, y por consiguiente rectos los ángulos, forman un quadrado como A B C D fig. 6. El quadrilongo tiene todos sus ángulos rectos, é iguales solo los lados opuestos como A CI K. El rombo tiene iguales sus lados opuestos; pero dos de sus ángulos opuestos son agudos, y los otros dos obtusos como DEIF, donde los ángulos E, F son obtusos, y D, I agudos: el trapecio tiene dos lados paralelos, y otros dos que no lo son como en A B C D fig. 13.

XIV. Diagonal es una línea recta que se tira desde el ángu→ lo de un quadrilatero al ángulo que le es directamente opuesto como B C fig. 6.

› XV: Poligono es una figura que tiene muchos lados. Se lla ma pentagono quando tiene cinco, quando seis exágono, quando siete eptagono, quando ocho octagono, quando nueve eneagono, quando diez decagono, quando once undecagono, y quando doce dodecagono.

Problemas 6 operaciones.

XVI. Tirar una línea recta desde un punto á otro.

Tómese una regla bien exâcta, y aplíquese exâctamente sobre los dos puntos como C y D, fig. 5; tírese una línea desde C hasta D, y se tendrá una línea recta ( 3 ).

XVII. Dividir una línea recta CD, fig. 5, en dos partes iguales.

T

Del punto C como centro, y con qualquier abertura de compas, descríbase ele arco superior TV y el inferior LM: del punto D como centro,y con la misma abertura de compas, descríbase tambien el arco superior N S y el inferior O I; y desde los puntos de interseccion de los dos arcos superiores A é inferiores G tírese una línea AG, que cortará la línea C D en dos partes iguales en el puntó B.

XVIII. Baxar una perpendicular sobre una línea resta desi de un punto conocido como A fig. 5.

L

4

Desde el punto A como centro descríbase un arco qualquiera que corte la línea C D en dos puntos E y F. Desde estos pun tos como centros descríbase los arcos inferiores I O, LM, y. por G punto de interseccion, y por el punto A tírese la línea A B, que será perpendicular á Ċ D.

i

XIX. Para levantar una perpendicular sobre esta misma lí— nea desde el punto B,

Es necesario describir desde este mismo punto una porcion de cír→ culo E F, que corte esta línea en dos partes iguales desde estos puntos E F trácense los arcos superiores NS, TV; y desde su punto de interseccion A tírese la línea A B, y se tendrá la perpendicular que se busca.

*. XX. Si fuese necesario tirar una perpendicular sobre la línea B C en el punto B próximo á su extremo, bastará alargar esta lí nea hasta D, y hacer la operacion como se ha visto mas arribà (18 y 19).

XXI. Tirar una línea paralela á otra fig. 4

Sea la línea C D sobre la que se quiere tirar una paralela por el punto E desde este punto como centro descríbase un arco qualquiera F H: desde el punto H con la misma abertura de compas descríbase el arco E G; tómese despues sobre el arco FH una parte igual al arco E. G; y en fin, por el punto E y el punto F tírese la línea A B, que será paralela á C D.

XXII. Hallar el centro de un círculo.

Sea el círculo A E B F, fig. 7, cuyo centro se quiere hallar. Tómense dos puntos qualesquiera, E F, de la circunferencia de

este círculo, y por ellos tírese la cuerda E F. Divídase esta lí→ nea en dos partes iguales en el punto K (17) sobre este punto levántese la perpendicular A B (18), que se dividirá en dos puntos iguales (17) en el punto C, y este será el centro del círculo.

XXIII. Dividir un ángulo en dos partes iguales.

Sea el ángulo D B E, fig. 8, el que haya de dividirse en dos partes iguales. Desde el vértice B, como centro, descríbase el arco DE, y desde estos dos puntos tírese la perpendicular BF (18), que cortará el ángulo en dos partes iguales.

XXIV. Formar un ángulo igual a otro ángulo dado.

'Sea B A O, fig. 9, el ángulo dado; descríbase desde el punto A como centro el arco B C, y desde el punto a de là lí nea a c descríbase con la misma abertura de compas el arco indeterminado bc: tómese sobre este último arco la misma extension que la del arco B C; y tírese desde el punto b la línea ba; y resultará el ángulo ba c igual al ángulo B A C

XXV. Se comprehende fácilmente que para hacer de estos ángulos triángulos iguales basta solamente tirar las líneas rectas B C ybc, y estas dos figuras serán perfectamente iguales. Así dos ángulos ó dos triángulos serán iguales quando tuvieren sus iados homólogos iguales, y los ángulos opuestos á estos lados fuesen tambien iguales.

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XXVI. Hacer un quadrilatero igual y semejante á otro qua drilatero A B C D fig. 10.

Tírese una línea indefinida a b; tómese en ella la longitud A B del quadrilatero que se quiere imitar: desde los puntos a y b como centro, describanse los arcos pequeños c d (18, 19 y 24) con las aberturas de compas que se hayan tomado sobre el primer qua drilatero determinense tambien sobre él los puntos y d corres pondientes á los puntos C y D; tírense las líneas a c, c d y d b, y se tendrá un quadrilatero absolutamente semejante al primero. XXVII. Trazar una figura igual y semejante á otra figura de un número qualquiera de lados en línea recta.

Qualquiera que sea el número de lados en línea recta que tenga. una figura regular ó irregular, basta para hacer una que le sca semejante é igual, dividir la figura dada en triángulos que tomán-, dolos dos á dos tengan un lado comun: cópiense despues estos triángulos unos despues de otros como se ha dicho (24 y 25), únanse del mismo modo que estuviesen en la figura, y se tendrá una segunda igual y semejante á la primera.

XXVIII. Reducir una figura grande como la de un campo 6 un terreno a una mas pequeña semejante.

Para resolver este problema se emplea la escala de proporcion' ó

partes reducidas, que cada division de ella represente estadalès, varas ó pies fig. 11. He aquí como se construye.

ó de co

Tirense sobre una regla de madera bien dura y seca, bre, las paralelas B C, A F, que se dividirán en diez partes iguales A H, H 100, 200, 300 &c.; divídase el intervalo B C, A F en diez partes iguales por las paralelas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; divídanse luego A H y B L en diez partes iguales, y por los puntos L 9, 18, 27 &c.; tírense líneas rectas, que serán paralelas entre sí, y se tendrá una escala de mil partes iguales, que serán otros tantos pies, varas, toesas, aranzadas, ó la medida que se busca.

He aquí el uso de esta escala. La línea A F y sus paralelas designan el número de varas, pies ú otra qualquiera medida á que se quiera reducir un terreno. Como cada division A H, H 100 &c. representa cien unidades de la medida que se quiere tomar, y esta division A H está tambien dividida en diez partes, cada una de estas valdrá diez. La parte de las paralelas á la línea A F, esto es, 19, 28, interceptadas en cada uno de los dos triángulos B A 9 HL9, denotan el número de unidades desde 10 hasta 1 conforme se va acercando al vértice del triángulo. Supongamos que se quiera tomar en esta escala doscientos treinta y tres pies: póngase la punta del compas en la línea 200 200 en el punto en que la corta la paralela 7 3; llevando la otra punta del compas hasta la línea 63 en el punto en que la corta la misma paralela 7 3, se habrá tomado dicho número de pies propuesto.

A

Hay otra especie de escala que se traza sobre un plano, y que expresa las medidas reducidas: la fig. 12 representa esta escala: esta es una línea que se divide en partes iguales, que representan varas, pies &c. segun la proporcion de la escala geométrica que ha servido para hacer el plano, La primera vara ó el primer pie &c. se divide siempre en diez partes iguales.

f

De las superficies.

XXIX. Area, superficie 6 extension son una misma cosa. Hállar el area 6 extension de un quadrado y de un rectán gulo A B C D fig. 10.

Se conoce el area de esta figura multiplicando su base por su altura, ó la altura por su base. Así, si la base C D de este quadrilatero tiene 20 pies, y su altura A C 10, tendrá 200 pies quadrados de area ó extension, porque 20 multiplicado por 10 dan 2001

XXX. Hallar el area de un triángulo E D F fig. 2. Siendo el triángulo la mitad de un quadrilatero de la misma ba

se y altura, es claro que para hallar el area es menester multiplicar la base por la mitad de su altura ó viceversa. Así, si el triángulo ÉD F tiene diez pies de base y quatro de altura : tendrá veinte pies quadrados de superficie,

:

Con la solucion de estos dos problemas y un poco de inteligencia será fácil encontrar el area de toda figura regular é irregular, reduciéndola á quadrilateros y triángulos, cuyas areas se calculan despues sin embargo, es necesario cuidar de dividirla en los menos triángulos posibles para tener menos que calcular. Se sumarán despues estos diferentes valores, y la suma total será el area de la figura que se busca. Supongamos por exemplo la figura irregular A B C D E F, fig. 13, la divido en quatro triángulos A B F, BCF, CDF y DEF, cuyas diferentes areas mido, y las sumo despues.

XXXI. Hay muchos casos en que se puede dividir una figura á un mismo tiempo en triángulos y trapecios (13), lo qual abrevia mucho la operacion.

El area del trapecio se conoce sumando los dos lados paralelos, y tomando la mitad de su valor que se multiplica por la perpendicular que las une así en la fig. 13, si se supone que la línea B C del trapecio A B C D se compone de 15 varas, su paralela A D de 25, y la perpendicular C G de 10: el area de esta figura tendrá 200 varas quadradas porque las líneas B C y A D valen 40, cuya mitad 20 multiplicada por la línea C. G, que vale 10, da 200. Tales son las nociones generales de geometría que deben absolutamente poseerse quando se quiere medir con exactitud. En los diversos libros de Geometría que tratan de la Trigonometría ó Geometría práctica, pueden verse sus demostraciones y explicaciones. Pasemos a la descripcion de los instrumentos propios al agrimensor y de sus usos.

Siendo el objeto del agrimensor no solo el de medir las distancias, sino tambien el de tomar y medir los diferentes ángulos que forma un terreno, y reducirlo á un plano, tiene necesidad de tres especies de instrumentos: la primera son los piquetes, las enerdas, la cadena, y la vara ó estadal: la segunda el grafómetro, la brúxula, la plancheta y la alidada; y la tercera el semicírculo graduado y la

escala.